每逢重大的運動競賽，常會聽到賠率一詞。網路上也經常有人在問賠率的意義。賠率與機率關係密切，利用機率可解釋賠率，反之，賠率也是解釋機率的方式之一。因此，就讓我們先由賠率討論起。2006 年 6 月 9 日至 7 月 9 日，在德國舉行4年一度的世界盃足球大賽。這一屆世界盃共有 32 隊參賽，分成 8 組， 每組 4 隊。每組經單循環賽 6 場，取前兩名進入 16 強。再經單淘汰產生 8 強，又單淘汰產生 4 強。4 強捉對廝殺，勝隊爭冠亞軍，敗隊爭季殿軍。全部共比賽 64 場。每場比賽 90 分鐘， 在分組賽中可以有平手。進入 16 強後，若在正規的 90 分鐘後平手，則延長 30 分鐘，若再平手，則雙方各罰 5 球定勝負，這就是扣人心弦的 12 碼罰球 PK（penalty kick）賽。
6 月初有份賽前的封王賠率排行榜，6 月底產生 8 強後，又有份新的封王賠率表（依封王賠率大小由小到大的排名前 8 名）。表中賠率 1 賠 a，有兩種常見的賠法。其中一種是下注 1 元，若你贏的話給你 a 元，但不論你輸或贏，這 1 元都拿不回。另一種是若你贏的話給你 a 元，且原下注的 1 元還是你的，若輸的話，則下注的 1 元被收走。
看了賠率表你會產生什麼心得？首先，賽前所預測的排名並非太離譜。賽前預測的前 5 名都進入 8 強，8 強中的另 3 隊原預測是 8、9、14 名，即使 14 名也還不算離前 8 名太遠。賽前預測名次的 1、5、4、2、3 名，在 8 強中的名次是 1、2、3、4、5 名，雖然預測名次不盡然準確，但似乎也相當具有參考價值。依據實際表現及發展（如原來 32 隊，如今只剩 8 隊），賠率做了修訂。8 強淘汰一半，產生 4 強，8 強封王賠率中的前4名，就有 3 隊未能進入 4 強，只有排名第 3 的德國進入 4 強。
除了封王賠率外，還有各種賠率，如德國對阿根廷的賠率，其中又分德國贏的賠率、阿根廷贏的賠率，和在正規時間內定輸贏的賠率等等。此外，還有最多進球賠率，一場比賽誰進第一球的賠率等，有各種賭法。
一般而言，賠率過高，賭場（如彩券公司、博奕公司等）覺得划不來，賠率太低，賭客下注意願低，因此賠率會有一合理的平衡點。賭場認為有利可圖，也有夠多的賭客認為合理，這個賠率才有行有市。隨著比賽進行，依球隊的表現，賭客對球隊贏球的機率會隨時重新評估。換句話說，當有新的條件加入時，賠率可能會隨之而變。另外，不同賭場的賭法可能不同，對同一支球隊的賠率，也可能不同。
4 強封王賠率排名依序是德國、法國、義大利及葡萄牙。只是德國先敗於賠率較高的義大利隊，法國倒是贏了賠率比他高的葡萄牙。德國及葡萄牙爭季、殿軍，德國獲勝。義法的冠亞軍之戰，則由義大利獲勝。這份 4 強封王賠率表的順序，其 2、4 名正確，1、3 名則互調。可見以賠率排名預測實際名次，有時準有時不準。
賠率大小究竟與機率有什麼關係？簡單地說，發生的機率愈小，賠率愈高，發生的機率愈大，賠率愈小。開賭場當然要賺錢，所以對賭客而言，賭場裡不會有公正賽局（fair game）。假設是公正賽局，則由賠率如何換算出贏的機率？
公正賽局
何謂公正賽局？這不見得有唯一的答案，因每人心中對公正的看法可能不同。我們就以「期望淨所得是 0」當做公正賽局的定義。期望值（expectation 或稱 expected value, mean）是機率裡一個重要的量，在這裡不下定義，先把它想成是平均好了。先前已對賠率 1 賠 a 有兩種常見的賠法做了說明。其一是你得先下注 1 元，不論你輸或贏，這 1 元都拿不回。若你賭的那支球隊是 1 賠 a（這裡 a ? 1 才合理），則在公正賽局下，你認為該球隊贏的機率為何？
假設贏的機率是 p，且範圍介於 0 < p ? 1 之間，並令 X 表示每次賭的淨所得。則淨所得 X = a ? 1 的機率是 p，淨所得 X = ?1 的機率是 1 ? p。所以下式應成立：
p‧(a ? 1) ? (1 ? p)‧1 = ap ? 1 = 0解出 p = 1／a。即如果是 1 賠 2 而且是公正賽局，這球隊贏的機率應該是 1／2。A 和 B 兩支球隊比賽，假設沒有和局，又假設 A 贏的賠率是 1 賠 a，B 贏的賠率是 1 賠 b，顯然 a 與 b 不會同時都大於 2。否則你兩隊各下注 1 元，付出 2 元，卻保證所得多於 2 元，這並不合理。現考慮第二種賠法。你下注 1 元，1 賠 a，表示贏的話給你 a 元，且原下注的 1 元還是你的，若輸的話，則下注的 1 元被收走。這時 a 便可小於 1，即a ? 0。仍令 X 表示每次賭的淨所得，p 是贏的機率，則p‧a ? (1 ? p)‧1 = (a + 1) p ? 1 = 0解出 p = 1／(a + 1)。第二種情況下的 1 賠 a，與第一種情況下的 1 賠 a + 1 等價。因此利用第一種情況的結果，也可得 p = 1／(a + 1)。倘若在第二種情況裡，如果是 1 賠 2，贏的機率是 1/3；而第一種情況 1 賠 2，贏的機率是 1/2。
反過來看，對第一種情況，若贏的機率是 p，則應該是 1 賠 1/p；對第二種情況，若贏的機率是 p，則應該是 1 賠 (1 ? p)／p。為了能更清楚地解釋，舉兩個例子來說明。
例１：假設你與同學賭巴西贏日本，10 賠 1。則你認為巴西會贏日本的機率為何？
這是第二種情況的 1 賠 0.1，也是第一種情況的 1 賠 1.1，因此 p = 1/1.1 = 10/11。至於巴西輸的機率是 1 ? p = 1/11。即巴西贏日本的機率是輸日本的機率的 10 倍。
例２：在上例中，假設各經過 1 場與他國的比賽後，巴西隊表現不如預期，日本則後勢被看好。這時你與另一位同學賭巴西贏日本，5 賠 1。5 賠 1 即 1 賠 0.2，因此巴西贏日本的機率是 p = 1/1.2 = 5/6。巴西贏的機率由 10/11 降為 5/6，雖只降了少少的 5/66 = 0.07575 …… 不到一成，但賠率卻由 10 賠 1 變成 5 賠 1。
在 6 月初那份賽前封王賠率表，排名最後的是千里達及托巴哥共和國，是 1 賠 1001.00。預測排名很前面的球隊，雖贏球機率大，但賠率小，賭對了，所獲不多。因此雖然千里達及托巴哥會奪冠的機率很低，仍有人押注，萬一爆出冷門，賭客就大賺了，而賭場不就大賠？
因此，賭場所設計出的賠率，通常對賭徒不是公正賽局，但賭場仍有可能賠錢。盛行於臺灣民間的六合彩，有時會有組頭因不堪大賠而跑路。事實上，若資金不夠大，較易發生賭場破產；資金愈大，賭場撐不下去的機率也就愈低。這方面的討論是屬於機率論裡的破產問題（ruin problem），本文不加詳述。
對一公正賽局，已說明由賠率可以算出贏的機率。但若對某一球隊連續兩屆都奪冠的機率有興趣，則可否由各屆封王的機率求出這個機率呢？答案或許是否定的，因為並不知道兩屆比賽封王事件間的關係。而對於兩個事件，若只知各自發生的機率，而無其他資訊，也就無法求得同時發生的機率了。
法國隊在分組賽中表現並不太好，但進入 8 強後，卻能贏原先最被看好的巴西隊。球是圓的，事先誰也不敢打包票哪一隊必得冠軍。對即將對抗的兩支球隊，在公正賽局下，如果是勢均力敵，可以認為贏的機率各是 1/2。但如果有一隊較強，則其贏的機率 p 應大於 1/2，至於弱的那一隊，贏的機率 q 應小於 1/2，而 p + q 應為 1 才有道理，這可能是一般人的認知。
儘管足球迷們對各隊強弱的評估可以不同，但 p + q 應該是 1。也就是雖然人人都可當預言家，誇誇其談各隊贏球機率，但這些機率還是要滿足某些條件，不是可以任意說巴西奪冠機率是 0.9，阿根廷奪冠機率是 0.5 等。對於這部分，再以兩個例子來解釋。
例３：在 4 強對決前，賭客對媒體報導更加謹慎。因賽前排名 1、2 名的巴西及阿根廷，在 8 強賽都被淘汰，跌破賭客們的眼鏡。在 4 強中，大部分的賭客都看好德國和法國會勝出，兩國分居封王排行榜的 1、2 名。
報載賭盤開出：德國贏，一萬賠一萬零六百；義大利贏，一萬賠兩萬兩千六百。我們先換算出德國贏是 1 賠 1.06，義大利贏是 1 賠 2.26。則在公正賽局的假設下，德國贏的機率加上義大利贏的機率是1/1.06 + 1/2.26 = 1.385874兩隊得拚得你死我活，贏的機率相加卻超過 1，這是怎麼回事？難不成兩隊向上帝的禱告都能奏效？我們已說過被認為愈容易贏的，賠率便愈小。賭場要賺錢，因此球隊贏球機率被放大了。而賭客要刺激、要豪賭，對不公正的賽局仍可接受。有些被看好的球隊輸球，慘遭民眾辱罵，相信罵人者中有些是因賭輸而生氣的。
賠率低到 1 賠 1.06，表示德國極度被看好，只是在 90 分鐘正規比賽平手後，在 30 分鐘延長賽的最後兩分鐘，義大利連進兩球，以 2 比 0 擊敗德國。
例４：在 4 強封王賠率表中，法國排名在義大利之前，但在法、義冠亞軍賽前，較多人看好義大利。知名的博奕公司英國的威廉希爾（William Hill），開出的盤口是義大利勝 1 賠 2.50，平手 1 賠 2.70，法國勝 1 賠 2.80，這是就踢完正規的 90 分鐘而言。如果你 3 種可能性都押 1 元，則最少淨虧 0.20 元，最多淨虧 0.50 元，都必然是淨虧，因此大約少有人這樣賭的。至於義大利封王賠率是 1 賠 1.72，優於法國的 1 賠 2.10（沒有平手）。在公正賽局的假設下，前者 3 種情況的機率和是1/2.50 + 1/2.70 + 1/2.80 = 1.127513後者義大利與法國封王機率和是1/1.72 + 1/2.10 = 1.057586因此第二種賭法似乎對賭客稍有利。
另外也有義大利奪冠 11 賠 8 的說法，可看出這是屬於贏的話，所下的賭注仍屬於第二種情況。11 賠 8 即 1 賠 8/11，故贏的機率是1／(1 + 8/11) = 11/19對應第一種情況 1 賠 19/11 = 1.727，與前述 1 賠 1.72 接近。也有報載義大利勝 1 賠 1.21，平手 1 賠 1.81，法國勝 1 賠 1.66，這也是屬於第二種情況。對應第一種情況的 1 賠 2.21，1 賠 2.81，以及 1 賠 2.66。
那次冠亞軍戰在正規的 90 分鐘結束時，雙方以 1 比 1 戰成平手。延長 30 分鐘，雙方都沒有進球，接著就是 PK 戰，義大利以 5 比 3 擊敗法國。一旦結果揭曉，賽前預測的機率便沒有意義了。
生活即機率
兩百多年前，法國大數學家及天文學家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace, 1749-1827）就已說：「大部分生活中最重要的疑問，都只是機率的問題。」拉普拉斯並未誇大，時至今日，機率論的確已成為幾乎所有科學、工程、醫學、法庭及工業中，極基本且重要的工具。而且如拉普拉斯所指出，人們已習於問「這件事的機率如何？」，而不若以往問「這件事會如何？」。以下列出一些新聞標題做為佐證。怎樣才能提高加薪機率？
普通公務員成為部長的機率有多大？
研究發現大腿愈粗罹心血管機率愈高。
吃排卵藥懷三胞胎機率不到 10％。
電腦輻射導致癌症的機率提高到 45％。
吃全素的女性產下雙胞胎的機率約為常人的五分之一。
吃蛤蠣吃到紫珍珠的機率是二百萬分之一。
姚明表示他參加男籃世錦賽的機率是 50％。
2102 年小行星撞地球的機率有千分之一。再引用胡適在重印乾隆壬子本《紅樓夢》序裡的一段話供各位參考。我對容先生說：「凡作考據，有一個重要的原則，就是要注意可能性的大小。可能性（probability）又叫做幾數，又叫做或然數，就是事物在一定情境之下能變出的花樣。把一個銅子擲在地上，或是龍頭朝上，或是字朝上，可能性都是百分之五十，是均等的。把一個不倒翁擲在地上，他的頭輕腳重，總是腳朝下的，故他有一百分的站立的可能性。試用此理來觀察紅樓夢裏寶玉的生年，有二種可能……」胡適這篇序寫於 1927 年，距今約 80 年。雖然文中對機率的用語，以今日觀點並非很精準，不過其依「可能性的大小」來做考據，的確是頗客觀的態度。文學考證要具科學的精神，而「可能性的大小」就是依據之一。可能性就是機率，但做決策有時並非只依機率值的大小。以賭博為例，前面提及的期望淨所得，也是一種常考量的依據。只是大部分的賭，期望淨所得都是負。以四星彩為例，玩法之一（正彩）是自 0000 至 9999 共 10,000 組有序號碼中，任選一組。若開出的號碼恰好是你所選的，則彩金是投注的 5,000 倍，無論中或沒中，所下的注當然收不回。中獎機率是 1/10,000，只賠 5,000 倍，要賠 10,000 倍才是公正賽局，但你也知道很難有這種彩券。雖每 100 元，期望淨所得是 50 元，但仍有人願意下注。
每個人對金錢有不同的效益函數（utility function），這函數並非都是金錢的線性函數。有些人不在乎小錢，而想要以簡單且快速的方法得到大錢，這時賭就是方法之一了。有些人希望穩紮穩打，有些人則願意豪賭。高利潤常伴隨高風險，因此變異（variation）大小，也是做決策時會考慮到的。變異是機率論中一項基本的概念。
既然生活中處處充滿著與機率相關的問題，我們有必要對機率論有相當程度的了解，這也是機率論日漸成為大學中許多學系必備知識的主因。