說到地圖 就不得不講幾何
想想什麼樣的課程會學到 mapping, atlas, geodesic 這種字? 就幾何麻
國小課本教你認識圖形的時候 就有說到幾何起源於埃及測量
沒錯 早年尼羅河流域與兩河(美索不達米亞)流域時常氾濫
洪水退去之後的土地重劃仰賴了大量測量技術
當時的測量不只是長度 他們已經知道重點在面積計算
先定義 1*1的正方形面積為1
往後的一切都由此推廣 還記不記得
多拿幾個正方形排起來推廣為矩形
平行四邊形跟梯形都要還原成矩形
集合了各種四邊形後 對半切就成了各種三角型
給定圓周與直徑的比例(圓周率)後
把圓沿著圓周朝圓心切成細細小小的扇形
小扇形長得很像三角形
這千千萬萬的三角形 又剛好是千千萬萬長方形的一半
千千萬萬長方形擺再一起還是一個長方形
是長方形就是正方形的推廣 所以圓面積就出來了
老師可能整天叫你算 *3.14的乘法特訓 粗心就要挨打什麼的
但其實圓面積不是很重要 教圓的目地在教角度
只是國小老師大概不會提醒大家角度在未來可以幹嘛
巴比倫人懂圓型 懂圓型就要懂角度
肉眼視差太短 無法分辨星星的遠近 於是有了天球的概念
天球是地球之外的假想黑色球型外殼 星星都掛在殼上
黃道是太陽在天球上運行的軌道 有十二個皇宮給太陽輪著住
大概360天輪一圈 於是一個圓就被切成360等份
總之 掌握國小課本 就先掌握了古代文明的知識
再來國二教相似三角型
還記不記得全等比較難 有五個口訣
ASA SAS SSS AAS 跟 ASS的特例RHS
全等你個大頭鬼啊
一個有效率的測量 絕對不可以用全等來做嘛 = =
相似才可以等比例縮放 以小來測大 測大再化小
這時候不免要問 為什麼老是專注在三角形上 不能有別的相似嗎
如果老師說 你要浪費我的時間隨便你 等下測驗卷沒過80就寫你聯絡簿
這些學生未來高達八成會變文組同學啊啊啊
木已成舟不要失去信心 大家一定要記得歷史課本中明朝末年
利瑪竇把幾何原本帶到中國來 Geometria = 地球 + 測量
取開頭Geo念起來像幾何 因此得名
如果你的老師是說 因為點線面中 三角形是最基本的面
不是有這樣的題目嗎 怎麼算多邊形的內角合? 還是拆成三角形算嘛
你也不要高興得太早 現在高達八成是死阿宅沒人愛
真心不騙 下一個階段馬上告訴你相似的重要
高一數學(非高職) 這裡還沒分組 請不要END
高一介紹了一個史上最重要的工具 三角函數
雖然大部分的人可能學得很理論
怎麼算都框在單位圓裡面轉圈圈 多說無益 請大家回想一下
除了背誦 積化合差化積 跟兩倍三倍角公式之外還做過什麼習題?
從A看C 從B看C 求C在哪裡?
從A仰望H 從B仰望H 從C仰望H 求H的高度?
把單位圓中的理論 "相似" 到實際的測量數據中
這些就是貨真價實的三角測量了
差別只在實際應用時 角度很難看 要查表算一堆小數點
複習完中學以前的知識之後
有沒有突然覺得測量地貌繪製地圖其實不會很難
所以讓我換個角度回答原PO的問題
古人繪製世界地圖會遭遇什麼障礙呢?
會了以上三角測量後 按照座標畫個地圖有這麼難嗎?
注意囉 陸地上的三角測量是局部的 至少肉眼要可見
而且古典三角測量考慮的是平面(方方正正的R^2)
大尺度要改用球面幾何 這是非常未來才有的外星科技
所以當我說三角測量 意思就是平面的三角測量
那麼大範圍的海陸都要依賴星體的方位跟仰角來定位
要知道大陸海岸的地貌 只需沿著海岸航行
有個羅盤可以定角度 再根據陸地肉眼辨識的速度來估計距離
遠洋航海術只不過是找個參考點點定位 北半球找北極星方便
找北極星是最古老最陽春的定位法 正北方不受四季變化影響
西方航海術發達 跑去殖民全世界 使得現在地圖都以北方為正位
什麼? 有不是朝北的地圖嗎!? 中國就是
小時後有看夢幻遊戲都知道 左青龍 右白虎
青龍是東方在左邊 白虎是西方在右邊 這張圖當然是朝南看的
詩經說 "聖人南面聽天下 嚮明而治"
回想歷史課本的圖片 是不是所有皇宮都座北朝南啊
朝南的原因很簡單 緯度關係 採光好 太陽崇拜
大陸上以地貌做參考點的科技門檻比海中看星星低
但是當我們有足夠曆法的知識 北斗星 織女星 各星座的亮星
都是定位的依據 從跟北極星的仰角可知南北走了多遠
怎麼知道東西向的距離呢? 第二天同一時間找另一個參考點的仰角差嘛
北極星只是推動北半球航海術 最最最古老的星火
事實上緯度越低測量越困難 南半球根本看不到北極星
不過那時候已經有密密麻麻的星圖供定位了
能定位之後 下一個重點是我們從小用到大 覺得再自然不過的事情
什麼叫做經度? 什麼叫做緯度? 再說得廣義一點 什麼叫做座標?
國中學了X-Y座標(笛卡爾的座標) 高中學了極座標 這些通通叫直角坐標
可能有些人以為只有X-Y叫直角坐標 r-θ太詭異了 不知道是什麼鬼
經緯度是在球面上使用的極座標
經度即是角度 緯度即是距離 只不過球面上的距離不是直線而已
想想每個經緯線的交會處是不是直角? 先不管這個
座標有什麼好處呢? 他是一個大家都能閱讀的語言
測量的語言統一了 馬上可以比較修正
測量的結果更精準了 繪圖的水準當然更精準
最早的經緯線要回意到征服王的年代
征服王在埃及蓋了個亞歷山大圖書館
當時可是世界的學術中心 著名的阿基米德都在那裡做研究
不過我要說的是館長 埃拉托斯特尼Eratosthenes(算地球周長的人)
這傢伙把征服王戰牛車踏平的土地畫成第一張世界地圖
那張地圖有七條直線跟六條橫線做劃分
後來搞西洋占星術的 托勒密Ptolemaios 試著改進這張圖
但是結果還是無法用來航行 SO SAD
WHY? 明明會三角測量 又有座標系統了啊!
那我們再回去看哪一句話出了問題
"怎麼知道東西向的距離呢? 第二天同一時間找另一個參考點的仰角差嘛"
什麼叫做 "第二天同一時間"?
如果我們依賴天體來測定時間 那就不能拿時間回去測量天體
舉例來說 定義這個日影/仰角 叫做4:44:44
明天同一時間4:44:44 再回來看日影/仰角差 當然沒差
所以在有精確計時裝置之前 古代人做出來的地圖還是奇形怪狀的
話說瑞士人也不是一開始就會做鐘錶
題外話 在托福閱讀測驗有一篇文章寫到
瑞士原先以珠寶響有盛名
搞宗教改革的 喀爾文Cauvin 跳出來禁止製造奢侈品
數十年間瑞士工匠們只得喝西北風
多虧法國的路易十四突然覺得天主教才是正統 境內到處取締新教
這些新教逃難者跑到日內瓦避難的時候 把鐘錶技術也帶了過去
瑞士工匠一看 挖肏! 這玩意兒才是爺們善常的嘛
總之可以看那個 麥卡托Mercator 的世界地圖
跟托勒密相隔一千四百年也沒什麼顯著的進步
越遠越變形不說 地中海很寬 中東很窄 大洋都很不大
可惜麥卡托沒能使用到阿爾卑斯山的外星科技
但是歷史課本又老愛扯麥卡托到底是怎樣?
麥卡托另有價值在投影法 投影之前我要把座標講完
好了 現在我們有準確的時間 準確的定位 還有座標的觀念
等等 地圖要求的是精確 那座標也必須精確
精確的座標可不能只是素描打打方格草稿而已
我們需要座標的數學 有厲害的座標數學 才能有厲害的座標投影
座標的故事要說到笛卡爾 就是那個用心臟線把走家教女學生的畜生
大學念原文書的時候有沒有遇過Cartesian Product?
不要END喔 這裡還是要說回中學的
有些線性代數課本可能覺得太廢了不介紹這個名詞
但是抽象代數一定有 Cartesian是從Descartes的Cartes來的
其實我們從小就會啦 X-Y平面上的(x,y)就是Cartesian Product
這一系列我們稱做 解析幾何
意思是借助方程式來研究幾何圖形 當然高次的方程式就是曲線了
這部分費瑪(最後定理的那個人)在同一時間也有所涉獵
不過費瑪反過來借助幾何圖形來研究方程式 生前沒有發表
而且成果也不如笛卡爾來得光芒萬丈 所以就鬼隱了
看到這裡各位可能很模糊 我給個具體的例子
國中都學過的 ax^2+bx+c=0 這是一個一元一次方程式
他的多項式 f(x)=ax^2+bx+c 可以放在X-Y平面上
費瑪做的事情是 把f(x)畫出來 看看有沒有通過X軸? 通過哪裡?
借助圖形的資訊來幫助他理解這個方程式有沒有解? 解在哪?
笛卡爾會先畫好幾個拋物線 看開口方向 大小 截距
然後研究a, b, c這組參數如何影響這個圖形的長相
解析幾何跟地圖有什麼關係呢?
解析幾何帶來了座標 有了座標系 那兩個人才能把微積分帶來世界上
理性 勿戰 請不要說古代文明早就會積分了
古代文明的微積分就像是上面講圓面積的算法
還不清楚什麼是無線小 什麼是極限
接下來發生的事情要知道微積分在幹嘛
但放心絕對沒有計算 想想大一微積分課本
不管是牛頓系列的 位置-時間 速度-時間 加速度-時間
還是萊布尼茲系列的 dxdy 都在解決同樣的兩個問題 切線跟面積
曲線某一點的切線怎麼畫?
你手畫的跟我手畫的一定不同 只能靠座標這個共通的語言來統一
面積到底是多少?
不管積什麼曲線的面積 曲線沒有面積啊 一定都是對著X軸去算嘛
微積分發生的一切事情都在直角坐標裡面
大一下期中考過後 大概會開始教 單/多變數向量值微積分
這裡包含了線/面/體積分 跟 多重積分的關係 商用版大概不會到這裡
那其實就是 R^n到R^m嘛 幹嘛特別去扯向量?
向量有方向 學電磁學的時候可以幫助你看散度/旋度/通量
向量還可以幹嘛? 可以做動畫啊 T, N, B Frenet frame
曲線上任一點的三個單位向量
T: unit tangent vector
N: unit normal vector
B: unit binormal vector
通過同一點 又互相線性獨立
簡直就是為該點特別架上的X-Y-Z坐標軸
Frenet formula又告訴我們怎麼透過curvature, torsion快速得到T', N', B'
知道T', N', B' 就知道T, N, B怎麼變化
知道T, N, B怎麼變化 就知道這個點下一秒要往哪個方向走
以往R^3中 要讓某物件移動 必須把整個路徑方程式寫出來
第一寫起來不容易 第二電腦也嫌計算複雜
但應用Frenet frame的話 只要從起始點去想怎麼轉彎怎麼旋轉就好
比起在R^3中憑空寫個方程式有沒有more human了
FPS(Frame Per Second):60 的F 就在這裡啦
這個單位時間的Frenet frame是這樣 下一個單位時間的Frenet frame要變怎樣
沒有Frenet 史上第一個3D動畫玩具總動員還拍不出來呢
向量微積分是進入現代微分幾何的必備武裝
有一個人在微分幾何這裡吃了大虧 叫做愛因斯坦
愛因斯坦的故事大家都不陌生 他在研究重力場方程式的時候碰到數學門檻
找念數學的同學Grossmann好好補救教學
等等 什麼又是微分幾何?
微分幾何主要研究 局部長得很像R^n 遠看歪歪 近看正正的東西
聽起來很抽象沒關係 後面再多做解釋
不如先這樣想 微分幾何研究的圖形要是可微分的
可微的感覺是軟軟滑滑的 不能有菱角
也就是隨便物體的表面必須是曲面
曲面上隨便參數化出來的曲線要可微
近代微分幾何的史祖是黎曼 又稱黎曼幾何
古典微分幾何的史祖是高斯 好像沒什麼特別名稱
這兩者有何差別呢?
黎曼觀點是平凡人觀點 活在扭曲的世界中看這世界
愛因斯坦要描述時空的扭曲 R^3裡面畫不出來
與其用更高維度的方正空間去想像時空 不如直接活在時空內吧
這是愛因斯坦主要向Grossmann請教的部分
高斯呢 則是神的觀點 不管世界歪曲扭八成什麼樣子
通通放在方方正正的神之R^n裡面 從外面來看世界的扭曲
回想向量微積分的時候 我們在R^2, R^3中考慮曲線/面
這件事情成為微分幾何發展的基石 強強強 高斯有夠強
少年宅男高斯也是有煩惱的 高斯曾經這麼想過
如果我自己就活在扭曲的世界裡 那我還能察覺世界的扭曲嗎?
後來在他四十來歲 為Hannover公國做測量工作時 解決了這個問題
簡單來說 地球表面是個微分流形 在微分幾何研究的範疇之內
回憶到前面說的 遠看歪歪 近看正正
活在地表的平凡人 很直覺地認為大地是平的嘛
直到他們獲得外星科技 突破天元親眼見證 才知道原來遠遠看是顆球呀
所以更準確來說 高斯的問題變成
如果我沒有突破世界格局的外星科技 有沒有察覺世界扭曲的手法呢?
有der 有der 高斯希望透過球面三角測量的數據來驗證球面幾何
雖然測量工具的工藝水平跟不上高斯的思想以至失敗
但研究期間 高斯還是發展了厲害的曲面投影法
這也沒辦法 地球是圓的 有了極座標的數學 在向量微積分中開始研究曲面
我們從古典的三角測量進步到更精準的球面三角測量
把大球上測量的數據 "相似" 到房裡的小球上 就是精確的地球儀了
SONO TOKI 距離完成地圖還差了最後一步 "曲面/球面的平面投影"
投影法經過千年的改良 近代裝備數學工具使其更精確
沒有任何一種投影叫做最棒的投影 端看需求選擇最適合的投影
究竟什麼是投影?
最早學到的內積 (A dot B)/|B| 可以理解成是A在B上投影的長度
這裡B是一個向量 所以是一維投影 這沒什麼用處
總之你知道 隨便一個A 都可以透過P(x)=(x dot B)/|B| 轉換成B上的東西
不管B是不是剛好X軸 總之這個長度就是B上的長度
姑且稱他為B軸 P(x)把X-Y平面上的東西 轉換到 一維的B軸上
這裡有一點感覺了吧 投影是一個座標系的變換
微積分教變數變換的時候告訴你
dx是對著X軸積 dθ是對角度積 中間怎麼過去的?
變換的過程就是把X-Y座標的東西投影到r-θ座標上
再接下來 可不可以不要對X軸積了?
可以 線積分讓你隨便對著一條曲線積
但是曲線好難啊不會算 那是不是又參數化這個曲線
經過一個變數變換 把曲線投影到直線上去計算?
那曲面積分當然也是投影回平面去做計算
學到到這裡還沒崩潰 那麼恭喜各位
一兩年後大家會碰到第一個看起來比較像地球的例子
球極平面投影Stereographic Projection
不過這不重要 他只準確在極地附近而已
最後讓我們回顧前面幾張世界地圖的投影法
托勒密用的是正軸圓錐投影
適合中緯度地區 將局部投影在附蓋北半球的圓錐上
北爛老師從小就要求我們寒暑假作業要交勞作
講錯了 這不是北爛 這是為了我們的未來做訓練
獨自完成的同學就會知道
圓錐可以攤平 平面可以組成圓錐
反過來 圓球面不能攤平 平面折不出圓球面
也就是說 這種平面投影可以把球面局部展開在扇形上
一想到二十年前的北爛勞作竟然可以幫助我鑑賞兩千年前的地圖
不禁懊悔自己當年不懂老師的用心良苦
接著我們看麥卡托 啊對了 圖請自行google啊= =
麥卡托的投影 是把整個地球(扣除兩極點)投影在直立圓柱的側面上
想像一顆球裝在罐頭裡的樣子?
球跟圓柱的差別在 球的南北方會收縮成一點 圓柱不會
所以跟球極平面投影相反 緯度越低越準 越高越失真
雖然面積朝兩極靠近會越拉越胖 好處是conformal
保持角度 角度很重要啊 關係到航向了
而且高緯度冰封地區本來就沒有航線 失真也沒關係
所以這張圖在當時的背景下才會這麼好用
麥卡托當年做的事情是把圓球投影在直立圓柱的側面上
那圓柱一定要擺直的嗎? 於是後人又推出了Transverse版
就稱他為 麥卡托地圖＊改 好了
麥卡托地圖＊改 是把地球投影在橫躺的圓柱側面上
一個是越靠近赤道越準 一個是越靠近子午線越準
兩個都保角 那躺下來有什麼好處嗎?
當然有了
一般我們看習慣 麥卡托地圖 最常有的誤解是
格林蘭超大? 俄羅斯超大?
但是在 麥卡托地圖＊改 裡面可以看到
格林蘭其實小不拉雞der 俄羅斯扣掉歐盟也沒想像中巨大
相信聰明的鄉民們都知道下一步是什麼了
地球是圓的嗎? NO 地球是個胖橢圓
終於可以說回高斯 高斯在為Hannover公國跑腿期間
仔細開發了橢圓投影的數學 高斯給了數學基礎
最後由Krueger的人完成 真＊麥卡托地圖＊改
這種將橢圓投影到橫躺圓柱的手法就稱為Gauss-Krueger projection
有GPS之後 已經沒有人傻傻去做測量了
那最大的問題就在 "橢圓的平面投影"
真＊麥卡托地圖＊改 想要更上一層樓 就必須解決在 南北/東西 極爆炸的問題
這個問題是這樣的 真＊麥卡托地圖＊改 把橢圓投影在橫躺圓柱的側面上
橫躺圓柱的側面攤開來是個長方型
兩極點是點 一個點去對應一條線!?
小時後就知道函數不可以一對多
後來有個叫Thompson的英國佬 他說 不對!
誰叫你們硬要把橢圓投影在長方形(圓柱的側面)上
看我做個修正 把橢圓投影在偽圓柱上 攤開來還是一個橢圓
兩極本應爆炸的點 剛好對應到橢圓的兩個極點
於是 真＊麥卡托地圖＊改＊ＶＥＲ－Ｔ 問世
他的好處是 等角 不用切掉兩極
再回到高斯 這段沒什麼營養 可以跳過
圓柱到底有什麼吸引力呢 非拿他做投影不可
用文組的說法是 把他攤開來就是個平面上的長方形 非常好用
用高斯的說法是 他的total curvature = 0
S: 平躺圓柱側面(open)
K(p): 在p點的gaussian curvature
K(p)=S上通過p點曲線中 最大跟最小normal curvature的乘積
S上過p點任意曲線的參數是怎麼寫? 不會 先閉眼睛冥想
就參透出 最彎的是直線 最平的是橫線
最彎的曲率跟參數化的速度以及圓柱的半徑有關 是多少? 不知道 假裝是k1
最平的曲率是多少? 千萬不要算 直線就是0 k2=0
以上在S上任意p點都適用 K(p)=k1*k2=0
所以也不用去想S的立體破洞了(一般課本是破成平面甜甜圈)
反正K(p)到處為0 那全曲率的面積分就變成
total curcature = \iint_{S} K(p) dS = 0
此時高斯可以很自豪地在S上面量出三角型的內角合等於pi
反過來說 S是由平面捲成 所以幾何性質要跟平面一樣
不像球面幾何的三角形內角合永遠大於pi
同樣圓周L 圈起來的圓 測量半徑也不會超過L/(2*pi)
有沒有不等角的地圖啊? 有
比較有名的是 Mollweide的偽圓柱等積投影
顧名思義 雖然不保角 但是面積比例相等 不會在兩極衝大大
WMAP衛星拍下全天球的宇宙微波背景輻射
最後就是用Mollweide投影法 把天球投影成平面的橢圓形照片給大家看
那有沒有不保角又不等積的地圖? 有
像是Robinson投影 跟 Winkel III投影
他們什麼性質都放棄了 只為一個目標 美觀
總之希望他不要錯得太扯 但還是要美觀
雖然不知道這樣的地圖對航行有什麼幫助 反正他就是美觀
有沒有其他的地圖? 有 我不知道
有沒有現在航行用的空圖或海圖? 有 請相關科系同學來補充 我也想知道
最後 原PO問的問題非常好
古人畫一張地圖實在不容易
很多人終其一生就這一個成就
別看高斯發展橢圓投影的數學好像很稀鬆平常一樣
他可是花了整整八年的時間做大地測量工作
請你回顧你的一生所學 全是古人燃燒靈魂的結晶
是不是剛好都在為了一張世界地圖做準備呢?
文長嘔心瀝血 希望原PO有所感觸 投入研究
《mobley2005 (Duncan)》 Ultimate Projection - 2015 霸氣登場